INITIATION À LA THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

PRÉSENTATION:
Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres

À PROPOS DU COURS

Dans plusieurs domaines des sciences (physique, mécanique, analyse numérique, etc.) apparaît la nécessité de développer un calcul différentiel "généralisé" pour des fonctions peu régulières, par exemple discontinues. La première leçon présente une situation de ce genre. L'objet de ce cours est d'introduire la théorie des distributions qui fournit une réponse élégante à ce problème.
Dans un premier temps, nous présentons la notion de distribution, généralisant la notion de fonction, et les premières propriétés de ces objets mathématiques. On montre ensuite comment certaines opérations bien connues sur les fonctions, en particulier la dérivation, se prolongent naturellement au cadre des distributions. Le cours s'achève sur quelques applications à des exemples classiques d'équations aux dérivées partielles linéaires.

PROGRAMME DU COURS

Semaine 1 :
EDP d'ordre 1 et méthode des caractéristiques
L'équation de Hopf
Fonctions test
Semaine 2 :
Définition des distributions
Dérivation des distributions
Semaine 3 :
Autres opérations sur les distributions
Formule des sauts en dimension 1
Intégration sur les courbes et les surfaces
Semaine 4 :
Formule des sauts en dimension >1 et applications
Distributions à support compact
Convolution des distributions par des fonctions régulières
Semaine 5 :
Régularisation des distributions
Convolution des distributions
Distributions tempérées
Semaine 6 :
Transformation de Fourier sur la classe de Schwartz
Transformation de Fourier pour les distributions tempérées
Semaine 7 :
Introduction à l'étude des EDP
Exemples de solutions élémentaires
Détermination de quelques solutions élémentaires
Semaine 8 :
Fonctions harmoniques
Exemples de solutions élémentaires
Équation de Poisson
Semaine 9 :
Problème de Cauchy au sens des distributions
Exemples d'EDP d'évolution d'ordre 1
Un exemple d'EDP d'évolution d'ordre 2
PRÉREQUIS

Calcul différentiel à plusieurs variables.
Notions élémentaires de topologie.
Connaissance de l'intégrale de Lebesgue.

QUESTIONS FRÉQUENTES

Est-il possible d'obtenir un certificat à la fin du cours ?
Oui. Tout étudiant ayant suivi le cours en entier et répondu au QCM final avec succès recevra un certificat. Toutefois, ce certificat ne donne pas droit à des crédits ECTS.

De quoi ai-je besoin pour ce cours ?
Les vidéos du cours sont suffisantes pour suivre le cours avec profit. Des compléments pourront être téléchargés en cas de besoin.